Bài tập 3 trang 43 SGK Giải tích 12 – Hoc247.net

Phương pháp giải:

Xét hàm số phân thức: (y = frac{{ax + b}}{{cx + d}};(c ne 0,;ad – bc ne 0))

– Tập xác định: (D = mathbb{R}backslash left{ {frac{{ – d}}{c}} right}.)

– Sự biến thiên

+ Tính đạo hàm (y’ = left( {frac{{ax + b}}{{cx + d}}} right)’ = frac{{a{rm{d – bc}}}}{{{{{rm{(cx + d)}}}^{rm{2}}}}}).

+ y’ không xác định khi (x = frac{{ – d}}{c}); y’ luôn âm (hoặc dương) với mọi (x ne frac{{ – d}}{c})

+ Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng (( – infty ; – frac{d}{c})) và ((-frac{d}{c}; + infty ))

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

– Tiệm cận:

+ (mathop {lim }limits_{x to pm infty } y = mathop {lim }limits_{x to pm infty } frac{{{rm{ax + b}}}}{{{rm{cx + d}}}} = frac{a}{c}) nên đường thẳng (y = frac{a}{c}) là tiệm cận ngang.

+ (mathop {lim }limits_{x to {{frac{{ – d}}{c}}^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {{frac{{ – d}}{c}}^ – }} frac{{{rm{ax + b}}}}{{{rm{cx + d}}}} = ( pm )infty) ;

(mathop {lim }limits_{x to {{frac{{ – d}}{c}}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {{frac{{ – d}}{c}}^ + }} frac{{{rm{ax + b}}}}{{{rm{cx + d}}}} = ( pm )infty) nên đường thẳng (x = frac{{ – d}}{c}) là tiệm cận đứng.

– Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

– Đồ thị:

+ Giao của đồ thị với trục Oy: x = 0 ⇒ y = (frac{b}{d}) => (0; (frac{b}{d})).

+ Giao của đồ thị với trục Ox: (y = 0 Leftrightarrow frac{{{rm{ax + b}}}}{{{rm{cx + d}}}} = 0 Rightarrow ax + b = 0 )

(Leftrightarrow x = frac{{ – b}}{a} Rightarrow (frac{{ – b}}{a};0)).

+ Lấy thêm một số điểm (nếu cần) – điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)

+ Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Đồ thị nhận điểm (I(frac{{ – d}}{c};frac{a}{c})) là giao hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Lời giải:

Xem thêm: Bí quyết tránh điểm liệt môn toán trong kì thi THPT quốc gia

Vận dụng các bước trên ta giải các câu a, b, c bài 3 như sau:

Câu a:

Xét hàm số (y=frac{x+3}{x-1})

Tập xác định: (D =mathbb{R} backslash left{ 1 right}).

Đạo hàm: (small y’ = {{ – 4} over {{{(x – 1)}^2}}} < 0,forall x ne 1).

Tiệm cận:

​(small mathop {lim y}limits_{x to {1^ – }} = – infty ;mathop {lim y}limits_{x to {1^ + }} = + infty)

nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

(small mathop {lim y}limits_{x to + infty } = 1;mathop {lim y}limits_{x to – infty } = 1)

nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (small left( { – infty ;1} right)) và (small left( {1; + infty } right).)

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;1) là giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (-3;0), cắt Oy tại điểm (0;-3).

Nhận xét: vẫn chưa đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số nên ta tiến hành lấy thêm 2 điểm đối xứng với (-3;0) và (0;-3) qua I(1;1) là các điểm (2;5) và (3;3).

Vậy ta có đồ thị hàm số:

Xem thêm: Tác giả – Tác phẩm Ngữ văn lớp 12 hay nhất – Haylamdo

Câu b:

Xét hàm số (y=frac{1-2x}{2x-4})

Tập xác định: (D =mathbb{R} backslash left{ 2 right}).

Đạo hàm: (small y’ = {6 over {{{left( {2{rm{x}} – 4} right)}^2}}} > 0,forall x ne 2.)

Tiệm cận:

​(small mathop {lim y}limits_{x to {2^ – }} = + infty ;mathop {lim y}limits_{x to {2^ + }} = – infty)

nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

(small mathop {lim y}limits_{x to + infty } = -1;mathop {lim y}limits_{x to – infty } = -1)

nên đường thẳng y =- 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (small left( { – infty ;2} right)) và (small left( {2; + infty } right)).

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số nhận điểm I(2;-1) làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại (small left ( frac{1}{2};0 right );) cắt trục Oy tại (small left (0;-frac{1}{4} right );)

Ta lấy thêm một điểm thuộc nhánh còn lại để vẽ đồ thị hàm số: với x=3 suy ra (small y=frac{5}{2}.)

Đồ thị hàm số:

Xem thêm: Đề Kiểm Tra Ôn Tập Chương 2 Đại Số 12 |

Câu c:

Xét hàm số (y=frac{-x+2}{2x+1})

Tập xác định: (D =mathbb{R} backslash left{ -frac{1}{2} right}).

Đạo hàm: (small y’ = {{ – 5} over {{{left( {2{rm{x}} + 1} right)}^2}}} < 0,forall x ne – {1 over 2}).

Tiệm cận:

​(mathop {lim y}limits_{x to {{left( { – frac{1}{2}} right)}^ – }} = – infty ;mathop {lim y}limits_{x to {{left( { – frac{1}{2}} right)}^ – }} = + infty)

nên đường thẳng (x=-frac{1}{2}) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

(small mathop {lim y}limits_{x to + infty } = – frac{1}{2};mathop {lim y}limits_{x to – infty } = – frac{1}{2}) nên đường thẳng (y=-frac{1}{2})

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (left( { – infty ; – frac{1}{2}} right)) và (left( { – frac{1}{2}; + infty } right).)

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

Đồ thị hàm số nhận điểm (Ileft( { – frac{1}{2}; -frac{1}{2}} right)) làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (2;0), cắt trục Oy tại điểm (0;). Ta lấy điểm (-1;-3) thuộc nhánh còn lại để thuận lợi hơn cho việc vễ đồ thị.

– Mod Toán 12 HỌC247