Hình học 12 Bài 2: Mặt cầu – HOC247

Ví dụ 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a và vuông góc với mặt đáy. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Lời giải:

Xét các tam giác SAB, SBC, SDC, SAC đều là những tam giác vuông, và có chung SC là cạnh huyền.

Vậy trung điểm I của SC chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có: (AC = sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a).

Xét tam giác SAC vuông tại A ta có: (SC = sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 13a).

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: (R=frac{{13a}}{2}).

Diện tích mặt cầu là: (S = 4pi {R^2}=169pi a^2.)

Thể tích khối cầu là: (V=frac{4}{3}pi .R^3=frac{2197}{6}pi a^3.)

Ví dụ 2:

Xem thêm: Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a.

Lời giải:

Gọi H là tâm của tam giác đều BCD.

Dễ thấy A nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.

Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp ABCD thì O nằm trên AH.

Đặt OH=x (x>0)

Ta có:

(BH = frac{2}{3}BE = frac{2}{3}a.sin {60^0} = a.frac{{sqrt 3 }}{3})

(AH = sqrt {A{B^2} – B{H^2}} = sqrt {{a^2} – frac{{{a^2}}}{3}} = asqrt {frac{2}{3}})

(OA = AH – x = asqrt {frac{2}{3}} – x)

(BO = sqrt {B{H^2} + H{O^2}} = sqrt {frac{{{a^2}}}{3} + {x^2}})

Xem thêm: 960 Bài tập trắc nghiệm Tiếng Anh lớp 12 có đáp án hay nhất

Mặt khác: (OA = OB Leftrightarrow asqrt {frac{2}{3}} – x = sqrt {frac{{{a^2}}}{3} + {x^2}} Leftrightarrow x = frac{{asqrt 6 }}{{12}}).

Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên AH và cách (BCD) một khoảng (OH=frac{{asqrt 6 }}{{12}}.)

Bán kính của mặt cầu là (R=OA=asqrt {frac{2}{3}} – frac{{asqrt 6 }}{{12}} = frac{{asqrt 6 }}{4}.)

Ví dụ 3:

Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có OA=a, OB=b,OC=c và OA,OB,OC đôi một vuông góc.

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB.

Dễ thấy H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB.

Mặt phẳng trung trực của SC cắt trục đường tròn (SAB) tại O.

Ta có O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

Xem thêm: Đề thi Violympic Toán lớp 2 (18 vòng) – Download.vn

Do OHSM là hình chữ nhật nên: (MS=OH=frac{1}{2}c).

(begin{array}{l} R = SO = sqrt {S{H^2} + H{O^2}} = sqrt {{{frac{{AB}}{4}}^2} + H{O^2}} \ = sqrt {{{frac{{S{A^2} + SB}}{4}}^2} + H{O^2}} = frac{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}. end{array})

Ví dụ 4:

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, góc giữa AB’ với mặt đáy là 450. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Lời giải:

(B’B = AB.tan {45^0} = a).

Gọi O, O’ lần lượt là trọng tâm các tam giác đều ABC và A’B’C’.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là trung điểm I của OO’.

Do A’B’C’ là tam giác đều nên (O’C’=frac{a sqrt3}{3}.)

(IO’=frac{1}{2}BB’=frac{a}{2}.)

Suy ra: (R = IC’ = sqrt {IO{‘^2} + O’C{‘^2}} = sqrt {{{left( {frac{a}{2}} right)}^2} + {{left( {frac{{asqrt 3 }}{3}} right)}^2}} = frac{{asqrt {21} }}{6}).

Vậy diện tích mặt cầu là: (S = 4pi {R^2} = frac{7}{3}pi {a^2}).