Lý thuyết Ôn tập chương 4 (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Ôn tập chương 4

A. Lý thuyết

1. Số phức

1.1. Số i.

Số i là số thỏa mãn: i2 = – 1.

1.2. Định nghĩa số phức

Mỗi biểu thức dạng a + bi , trong đó a;  b∈ℝ; i2 = – 1 được gọi là một số phức.

Đối với số phức z = a + bi, ta nói: a là phần thực, b là phần ảo của z.

Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

Ví dụ 1. Các số sau là những số phức: 2 – 3i; -8 + 4i; 5−  i2; 3 +​2i

Ví dụ 2.

Số phức 6 – i có phần thực là 6, phần ảo là – 1.

1.3. Số phức bằng nhau

– Định nghĩa: Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau :

a + bi = c + di a = c và b = d.

Ví dụ 3. Tìm các số thực x và y biết :

(2x – 1) + (y – 2)i = 3 + (4 – y)i

Lời giải :

Ta có : (2x – 1) + (y – 2)i = 3 + (4 – y)i

⇔2x−1= 3y−2=  4−y⇔x=2y= 3

Vậy x = 2 và y = 3.

– Chú ý :

a) Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0 : a = a + 0i.

Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có: R⊂C

b) Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi : bi = 0 + bi

Đặc biệt: i = 0 + 1.i

Số i được gọi là đơn vị ảo.

Ví dụ 4. Số phức z có phần thực là -12 và phần ảo là 12 là z = −12  +  12i.

1.4. Biểu diễn hình học số phức

Điểm M(a ; b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.

Ví dụ 5.

Điểm A biểu diễn số phức 2 – 2i

Điểm B biểu diễn số phức 4.

Điểm C biểu diễn số phức – 2.

Điểm D biểu diễn số phức 2 + 3i.

Điểm E biểu diễn số phức 2.

Điểm F biểu diễn số phức – 3 + 2i.

Điểm G biểu diễn số phức -2 – 3i.

1.5. Môđun của số phức.

Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) trên mặt phẳng tọa độ.

Độ dài của vecto OM→ được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là |z|.

Vậy z  =  OM→  hay a+​ bi  =  OM→.

Ta thấy: a+  bi  =  a2+ b2

Ví dụ 6.

1.6. Số phức liên hợp

– Định nghĩa : Cho số phức z = a + bi. Ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là z¯  =  a−bi.

Ví dụ 7.

Nếu z = -3 + 5i thì z¯  =  −3−  5i.

Nếu z = -4 + 4i thì z¯  =  −4−4i.

– Nhận xét :

+ Trên mặt phẳng tọa độ các điểm biểu diễn z và z¯ đối xứng nhau qua trục Ox.

+ Từ định nghĩa ta có: z¯¯  = z;  z¯  =  z

2. Cộng, trừ và nhân số phức.

2.1. Phép cộng và phép trừ

– Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.

– Tổng quát:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d).i

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d).i

2.2. Phép nhân

– Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân hai đa thức, rồi thay i2 = – 1 vào kết quả.

– Tổng quát:

(a + bi).(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci – bd

Vậy (a + bi). (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc).i

– Chú ý: Phép cộng và phép nhân số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực.

3. Phép chia số phức

3.1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp

Cho số phức z = a + bi, ta có:

z+​  z¯  = (a + bi) + (a – bi) = 2a;

z.  z¯  = (a + bi). (a – bi) = a2 – (bi)2 = a2 + b2 =z2

+ Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.

+ Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương mô đun của số phức đó.

Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực.

3.2. Phép chia hai số phức

Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho

c + di = (a + bi).z. Số phức z được gọi là thương trong phép chia c + di cho a + bi và kí hiệu là: z  =  c+ dia+​  bi.

Ví dụ 8. Thực hiện phép chia 4 – 6i cho 1 + i.

Xem thêm: Toàn văn Nghị quyết Trung ương 7 khóa XII về cải cách chính sách

Lời giải:

Giả sử z =  4−6i1+  i.

Theo định nghĩa ta có: (1 + i).z = 4 – 6i.

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của 1 + i ta được:

(1 – i) .(1 + i).z = (1 – i).(4 – 6i)

Suy ra: 2z = – 2 – 10i

Do đó, z = -1 – 5i

Vậy 4−6i1+ ​i  =  −1−5i.

– Tổng quát:

Giả sử z =  c+  dia+  bi. Theo định nghĩa phép chia số phức, ta có:

(a + bi).z = c + di

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của a + bi, ta được:

(a – bi)(a + bi).z = (a – bi)(c + di)

Hay (a2 + b2).z = (ac + bd) + (ad – bc).i

Nhân cả hai vế với số thực 1a2 +  b2 ta được:

– Chú ý. Trong thực hành để tính thương c+​dia+bi, ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi.

Ví dụ 9. Thực hiện phép chia 2 – 4i cho 2 + i.

Xem thêm: Toàn văn Nghị quyết Trung ương 7 khóa XII về cải cách chính sách

Lời giải:

4. Phương trình bậc hai với hệ số thực.

4.1. Căn bậc hai của số thực âm

Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ i2 = -1, ta nói i là một căn bậc hai của – 1; -i cũng là một căn bậc hai của -1 vì (- i)2 = -1.

Ta đó, ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn.

Căn bậc hai của -16 là ±4i vì ±4i2= −16

Căn bậc hai của -5 là ±  5i vì ±  5i2= −5

Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là ±ia.

4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với a; b ; c∈ℝ; a  ≠  0.

Xét biệt số ∆ = b2 – 4ac của phương trình. Ta thấy:

Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực x  =  −b2a.

Khi ∆ > 0, có hai căn bậc hai thực của ∆ là ±Δ phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức x1;2  =  −b±Δ2a.

Khi ∆ < 0, ta có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆ là ±i Δ. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức x1;2  =  −b±iΔ2a.

– Nhận xét:

Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Tổng quát: Mọi phương trình bậc n (n ≥1):

a0.xn + a1.xn-1 + ….+ an-1.x + an = 0

Trong đó; a0 ; a1;…..; an∈ℂ;  a0  ≠0đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt).

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết :

a) – 2 + 2i ;

b) 8−  i3;

c) – 8 ;

d) – 10i.

Lời giải :

a) Phần thực là – 2 ; phần ảo là 2.

b) Phần thực là 8 ; phần ảo là 3.

c) Ta có : – 8 = -8 + 0.i nên có phần thực là – 8; phần ảo là 0.

d) Ta có : -10i = 0 – 10i nên có phần thực là 0; phần ảo là -10.

Bài 2. Tìm các số thực x ; y biết :

a) (6 – 3x) + (x – y)i = 3 + 2i ;

b) (7 – y) + (x – 4)i = (y – 2).i .

Lời giải :

a) Để (6 – 3x) + (x – y)i = 3 + 2i

⇔6−3x= 3x−y= 2⇔−3x= −3x−y  =2⇔x=1y=−1

Vậy x = 1 và y = -1.

b) Để (7 – y) + (x – 4)i = (y – 2).i

⇔7−y=0x−4  = y−2⇔y=7x−4= 7−2⇔y=7x= 9

Vậy x = 9 và y = 7.

Bài 3. Tính z, với :

Lời giải :

Bài 4. Tìm z¯, biết :

Xem thêm: Toàn văn Nghị quyết Trung ương 7 khóa XII về cải cách chính sách

Lời giải:

a) Số phức liên hợp của z là z¯ =  2+  3i

b) Số phức liên hợp của z là z¯=  −3−​ i5

c) Số phức liên hợp của z là z¯  = 5i

d) Số phức liên hợp của z là z¯ = 6

Bài 5. Thực hiện các phép tính:

a) (2 + 3i) + (- 3 + 6i);

b) (- 6 + 2i) + (3 – 7i);

c) (3 – 2i) – (8 – 4i);

d) (- 4 + 2i) – (2 – 3i).

Xem thêm: Toàn văn Nghị quyết Trung ương 7 khóa XII về cải cách chính sách

Lời giải:

a) (2 + 3i) + (- 3 + 6i)

= [2 + ( -3)] + (3 + 6).i

= -1 + 9i.

Xem thêm: Giải toán 12 tích phân: Các bài toán chọn lọc – Kiến Guru

b) (- 6 + 2i) + (3 – 7i)

= (- 6 + 3) + (2 – 7).i

= -3 – 5i

c) (3 – 2i) – (8 – 4i)

= (3 – 8) + [- 2 – (-4)].i

= -5 + 2i

d) (- 4 + 2i) – (2 – 3i)

= (- 4 – 2) + [2 – ( – 3)].i

= – 6 + 5i

Bài 6. Thực hiện các phép tính sau:

a) (3 – i). (4 – 2i);

b) (4 + 2i). (- 3 – i);

c) 4.(- 4 + 2i);

d) (- 3 + 4i) . 2i.

Xem thêm: Toàn văn Nghị quyết Trung ương 7 khóa XII về cải cách chính sách

Lời giải:

a) (3 – i). (4 – 2i)

= [3. 4 – (- 1). (-2)] + [3. (-2) + (-1).4].i

= 10 – 10i

b) (4 + 2i). (- 3 – i)

= [4.(-3) – 2.(-1)] + [4.(-1) + 2.(-3)].i

= -10 -10i

c) 4.(- 4 + 2i)

= 4.(-4) + 4.2i

= -16 + 8i.

d) (- 3 + 4i) . 2i.

= -3. 2i + 4i. 2i

= -6i + 8i2

= – 6i – 8

Bài 7. Tính

a) (2 – 2i)2;

b) (1 – 2i)3;

c) (-2 + 5i). (- 2 – 5i).

Xem thêm: Toàn văn Nghị quyết Trung ương 7 khóa XII về cải cách chính sách

Lời giải:

a) (2 – 2i)2

= 22 – 2. 2.2i + (2i)2.

= 4 – 8i + 4i2

= 4 – 8i – 4

= – 8i

b) (1 – 2i)3

= 13 – 3. 12.2i + 3.1.(2i)2 + (2i)3

= 1 – 6i + 3. 4i2 + 8i2.i

= 1 – 6i – 12 – 8i

= -11 – 14i

c) (-2 + 5i). (- 2 – 5i)

= (-2)2 – (5i)2

= 4 – 25i2

= 4 + 25

= 29.

Bài 8. Thực hiện các phép chia sau:

Xem thêm: Toàn văn Nghị quyết Trung ương 7 khóa XII về cải cách chính sách

Lời giải:

Bài 9. Tìm nghịch đảo 1z của số phức z, biết:

a) z = 3 -2i;

b) z= −2+  2i;

c) z = 4i.

Xem thêm: Toàn văn Nghị quyết Trung ương 7 khóa XII về cải cách chính sách

Lời giải:

Bài 10. Giải các phương trình sau:

Lời giải:

Bài 11. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: – 10; – 15; – 73; -144.

Xem thêm: Toàn văn Nghị quyết Trung ương 7 khóa XII về cải cách chính sách

Lời giải:

Bài 12. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) 2z2 + 4z + 3 = 0;

b) 5z2 – 3z + 1 = 0;

c) -z2 – 4z – 8 = 0.

Xem thêm: Toàn văn Nghị quyết Trung ương 7 khóa XII về cải cách chính sách

Lời giải:

a) 2z2 + 4z + 3 = 0 có a = 2; b = 4; c = 3

∆ = 42 – 4. 2.3 = – 8 < 0

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt là:

z1;2  =  −4±i82.2 = −1  ±22.i

Xem thêm: Lý thuyết tổng hợp chương Khối đa diện hay, chi tiết nhất – Toán lớp

b) 5z2 – 3z + 1 = 0 có a = 5; b = -3; c = 1

∆ = (-3)2 – 4. 5.1 = -11 < 0

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt là:

z1;2  =  3±i112.5=310±1110i

c) – z2 – 4z – 8 = 0 có a = -1; b = – 4; c = -8

∆ = (- 4)2 – 4.(-1).(-8) = 16 – 32 = -16 < 0

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt là:

z1;2  =  4±4i2.(−1)=−2 ±2i

Bài 13. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z4 + 3z2 + 2 = 0;

b) z4 – 3z2 – 18 = 0.

Xem thêm: Toàn văn Nghị quyết Trung ương 7 khóa XII về cải cách chính sách

Lời giải:

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S​  =  i;  −i; i2;  −i2.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là là S  =  ±i3;  ±6

Trắc nghiệm Toán 12 Bài: Ôn tập Chương 4

Câu 1. Thu gọn z=2+3i2 ta được:

A. z=11−6i

B. z=−1−i

C. z=4+3i

D. z=−7+62i

Câu 2. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai:

A. z+z¯ là một số thực

B. z−z¯ là một số ảo

C. z.z¯ là một số thực

D. z2+z¯2 là một số ảo

Câu 3. Cho hai số phức z1=1+2i;z2=2−3i. Xác định phần ảo của số phức 3z1−2z2

A. 11

B. 12

C. 10

D. 13

Câu 4. Tìm số phức liên hợp của số phức z=3+2i

A. z¯=3−2i

B. z¯=-3−2i

C. z¯=2−3i

D. z¯=−2−3i

Câu 5. Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z. Số phức z¯ là:

A. 2−i

B. 1+2i

C. 1−2i

D. 2+i

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn z1+i=3−5i. Tính mô đun của z

A. z=17

B. z=16

C. z=17

D. z=4

Câu 7. Phương trình 8z2−4z+1=0 có nghiệm là:

A. z=14+14i;z=54−14i

B. z=14+14i;z=14−34i

C. z=14+14i;z=14−14i

D. z=24+14i;z=14−14i

Câu 8. Trong C, cho phương trình az2+bz+c=0a≠0 (*). Gọi Δ=b2−4ac, ta xét các mệnh đề sau:

1) Nếu Δ là số thực âm thì phương trình (*) vô nghiệm.

2) Nếu Δ≠0 thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

3) Nếu Δ=0 thì phương trình (*) có 1 nghiệm kép

Trong các mệnh đề trên

A. Không có mệnh đề nào đúng

B. Có 1 mệnh đề đúng

C. Có 2 mệnh đề đúng

D. Có 3 mệnh đề đúng

Câu 9. Phần thực của số phức z thỏa mãn 1+i22−iz=8+i+1+2iz là:

A. – 6

B. – 3

C. 2

D. – 1

Câu 10. Biết số phức z=x+yix,y∈R thỏa mãn đồng thời các điều kiện z−3+4i=5 và biểu thức P=z+22−z−i2 đạt giá trị lớn nhất. Tính z

A. z=33

B. z=50

C. z=10

D. z=52

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Khái niệm về khối đa diện

Lý thuyết Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Lý thuyết Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Lý thuyết Ôn tập chương 1

Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay