Mời các bạn xem thêm danh sách tổng hợp Bài toán lãi suất lớp 12 Tốt nhất
7 Bài toán lãi suất, bài toán thực tế trong đề thi Đại học có lời giải
Dạng 1. Lãi đơn
1. Phương pháp giải
– Định nghĩa: số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra.
– Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N*) là:
Chú ý: Trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r% là .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Chú Nam gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi đơn 5%/năm thì sau 5 năm số tiền chú Nam nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
A. 12,5 triệu B. 12 triệu C. 13 triệu D. 12, 8 triệu.
Ví dụ 2. Chị Hằng gửi ngân hàng 3 350 000 đồng, theo phương thức lãi đơn, với lãi suất 0,4 % trên nửa năm. Hỏi ít nhất bao lâu chị rút được cả vốn lẫn lãi là 4 020 000 đồng?
A. 5 năm. B. 30 tháng. C. 3 năm. D. 24 tháng.
Ví dụ 3. Tính theo phương thức lãi đơn; để sau 2,5 năm rút được cả vốn lẫn lãi số tiền là 10 892 000 đồng với lãi suất một quý thì bạn phải gửi tiết kiệm số tiền bao nhiêu?
A. 9 336 000 B. 10 456 000. C.8 627 000. D. 9 215 000
Ví dụ 4. Bạn Lan gửi 1500 USD với lãi suất đơn cố định theo quý. Sau 3 năm, số tiền bạn ấy nhận được cả gốc lẫn lãi là 2320 USD. Hỏi lãi suất tiết kiệm là bao nhiêu một quý? (làm tròn đến hàng phần nghìn)
A. 0,182. B. 0,046. C. 0, 015. D. 0, 037.
Dạng 2. Lãi kép
1. Phương pháp giải
1. Định nghĩa
Lãi kép là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp.
2. Công thức tính
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N*) là:
Chú ý: Từ công thức (2) ta có thể tính được:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 5%/năm. Tính số tiền cả gốc lẫn lãi chú Việt nhận được sau khi gửi ngân hàng 10 năm (gần với số nào nhất)?
A. 16,234 triệu B. 16, 289 triệu C. 16, 327 triệu D.16, 280 triệu
Ví dụ 2. Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất 0,58%/tháng (không kỳ hạn). Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng ?
A. 46 tháng B. 44 tháng C. 45 tháng D. 47 tháng
Ví dụ 3. Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng?
A. 10 tháng B. 12 tháng C. 14 tháng D.15 tháng
Ví dụ 4. Chị Thanh gửi ngân hàng 155 triệu đồng, với lãi suất 1,02 % một quý. Hỏi sau một năm số tiền lãi chị nhận được là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)
A. 161 421 000. B. 161 324 000 C. 7 698 000 D. 6 421 000
Ví dụ 5. Một khách hàng gửi tiết kiệm 64 triệu đồng, với lãi suất 0,85% một tháng. Hỏi người đó phải mất ít nhất mấy tháng để được số tiền cả gốc lẫn lãi không dưới 72 triệu đồng?
A.13 B. 14 C. 15 D 16
Xem thêm: Soạn Văn 12 | Chi tiết các tác phẩm văn học lớp 12 – Bút Bi Blog
Ví dụ 6. Một khách hàng gửi ngân hàng 20 triệu đồng, kỳ hạn 3 tháng, với lãi suất 0,65 % một tháng theo phương thức lãi kép. Hỏi sau bao lâu vị khách này mới có số tiền lãi nhiều hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng? Giả sử người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ.
A. 8 năm 11 tháng. B. 19 tháng. C. 18 tháng. D. 9 năm.
Dạng 3. Tiền gửi hàng tháng
1. Phương pháp giải
– Định nghĩa
Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định.
– Công thức tính
Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng, với lãi kép r%/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( n ∈ N* ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là Sn.
Xem thêm: Tổng hợp lí thuyết chương 1 | SGK Toán lớp 12 – Loigiaihay.com
Ý tưởng hình thành công thức:
+ Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
+ Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền đồng thì số tiền là
+ Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
+ Từ đó ta có công thức tổng quát
Chú ý: Từ công thức (6) ta có thể tính được:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Đầu mỗi tháng ông Mạnh gửi ngân hàng 580 000 đồng với lãi suất 0,7%/tháng. Sau 10 tháng thì số tiền ông Mạnh nhận được cả gốc lẫn lãi (sau khi ngân hàng đã tính lãi tháng cuối cùng) là bao nhiêu?
A. 6 028 056 đồng B. 6 002 765 đồng
C. 6 012 654 đồng D. 6 001 982 đồng
Ví dụ 2. Ông Nghĩa muốn có ít nhất 100 triệu đồng sau 10 tháng kể từ khi gửi ngân hàng với lãi 0,7%/tháng thì mỗi tháng ông Nghĩa phải gửi số tiền ít nhất bao nhiêu?
A. 9,623 triệu B. 9,622 triệu C. 9,723 triệu D. 9,564 triệu
Ví dụ 3. Đầu mỗi tháng anh Thắng gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng ( khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh Thắng được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên?
A. 28 tháng B. 29 tháng C. 30 tháng D . 31 tháng.
Ví dụ 4. Bạn muốn có 3000 USD để đi du lịch châu Âu. Để sau 4 năm thực hiện được ý định thì hàng tháng bạn phải gửi tiết kiệm bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết lãi suất 0,83 % một tháng.
A. 62 USD. B.61 USD. D. 51 USD . D. 42 USD.
Ví dụ 5. Anh A gửi tiết kiệm hàng tháng với số tiền 20 000 000 đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,7% một tháng dự định gửi trong vào 36 tháng. Nhưng đến đầu tháng thứ 25 thì anh A làm ăn thua lô không còn tiền để gửi vào ngân hàng nên buộc phải rút tiền ra khỏi ngân hàng đó. Biết số tiền thua lô là 500 000 000 đồng. Hỏi sau khi rút tiền ra ngân hàng thì số tiền rút được T bằng bao nhiêu ? Anh A còn nợ hay đã trả hết rồi ?
A. vẫn còn nợ , T= 424 343 391 đồng. B. Đã trả hết, T= 548 153 795 đồng.
C. Đã trả hết , T= 524 343 391 đồng. D. vẫn còn nợ , T= 448 153 795 đồng.
Dạng 4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng
1. Phương pháp giải
– Định nghĩa
Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu?
– Công thức tính
Xem thêm: Tổng hợp lí thuyết chương 1 | SGK Toán lớp 12 – Loigiaihay.com
Ý tưởng hình thành công thức:
+ Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là T1 = A(1 + r) và sau khi rút số tiền còn lại là
+ Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
và sau khi rút số tiền còn lại là
+ Từ đó ta có công thức tổng quát số tiền còn lại sau tháng là
Chú ý: Từ công thức (9) ta có thể tính được:
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Anh Chiến gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,75%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, anh Chiến đến ngân hàng rút 300 nghìn đồng để chi tiêu. Hỏi sau 2 năm số tiền anh Chiến còn lại trong ngân hàng là bao nhiêu?
A.16 071 729 đồng B. 16 189 982 đồng
C. 17 012 123 đồng D. 17 872 134 đồng
Ví dụ 2. Anh Chiến gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, anh Chiến rút một số tiền như nhau để chi tiêu. Hỏi số tiền ( gần nhất) mỗi tháng anh Chiến rút là bao nhiêu để sau 5 năm thì số tiền vừa hết?
A. 409 219 đồng B. 409 367 đồng C. 423 356 đồng D. 432 123 đồng
Ví dụ 3. Chú Tư gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng. Sau mỗi tháng, chú Tư đến ngân hàng rút mỗi tháng 3 triệu đồng để chi tiêu cho đến khi hết tiền thì thôi. Sau một số tròn tháng thì chú Tư rút hết tiền cả gốc lẫn lãi. Biết trong suốt thời gian đó, ngoài số tiền rút mỗi tháng chú Tư không rút thêm một đồng nào kể cả gốc lẫn lãi và lãi suất không đổi. Vậy tháng cuối cùng chú Tư sẽ rút được số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến đồng)?
A. 1840270 đồng. B.3 000 000 đồng.
C. 1840269 đồng. D. 1840271 đồng.
Ví dụ 4. Bà B gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 6%/năm, kì hạn 1 tháng. Môi tháng bà B vào ngân hàng rút 5 triệu để mua sắm. Hỏi sau bao nhiêu tháng bà B rút hết cả vốn lẫn lãi từ ngân hàng ? Biết lãi suất được tính đều đặn
Dạng 5. Vay vốn trả góp
1. Phương pháp giải
1. Định nghĩa.
Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.
2.Công thức tính
Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có
Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì Sn = 0 nên
và
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Chị Ngọc vay trả góp ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 1,15%/tháng trong vòng 4 năm thì mỗi tháng chị Ngọc phải trả gần với số tiền nào nhất ?
A. 1 362 000 đồng B. 1 432 000 đồng
C. 1 361 000 đồng D. 1 232 000 đồng
Ví dụ 2. Anh Sơn vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,9%/tháng , mỗi tháng trả 15 triệu đồng. Sau bao nhiêu tháng thì anh Sơn trả hết nợ?
A. 40 tháng B. 36 tháng
C.38 tháng D. 39 tháng
Xem thêm: Đề kiểm tra 15 phút – Đề số 2 – Chương II – Giải Tích 12
Ví dụ 3. Một người vay ngân hàng số tiền 350 triệu đồng, mỗi tháng trả góp 8 triệu đồng và lãi suất cho số tiền chưa trả là 0,79% một tháng. Kỳ trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất. Hỏi số tiền phải trả ở kỳ cuối là bao nhiêu để người này hết nợ ngân hàng? (làm tròn đến hàng nghìn)
A. 2 921 000. B. 7 084 000
C. 2 944 000. D. 7 140 000
Ví dụ 4. Anh Bình vay ngân hàng 2 tỷ đồng để xây nhà và trả dần mỗi năm 500 triệu đồng. Kỳ trả đầu tiên là sau khi nhận vốn với lãi suất trả chậm 9% một năm. Hỏi sau mấy năm anh Bình mới trả hết nợ đã vay?
A. 6 B. 3 C. 4 D. 5
Ví dụ 5. Ông A mua được căn nhà ở uận 1 với giá 2 tỷ đồng. với số tiền quá lớn buộc ông A phải trả góp với lãi suất hàng tháng là 0,5%. Hàng tháng ông trả 30 triệu đồng (bắt đầu từ khi mua nhà). Hỏi sau 36 tháng thì số tiền ông còn nợ là (làm tròn đến đơn vị triệu):
A. 1209 triệu đồng. B. 1207 triệu đồng.
C.1205 triệu đồng. D. 1200 triệu đồng.
Dạng 6. Lãi kép liên tục
1. Phương pháp giải
* Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm là: Sn = A. (1 + r)n
* Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là thì số tiền thu được sau n năm là
Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là , gọi là hình thức lãi kép tiên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:
Công thức trên còn gọi là công thức tăng trưởng mũ.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Biết rằng đầu năm 2010, dân số Việt Nam là 86932500 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7% và sự tăng dân số được tính theo công thức tăng trưởng mũ. Hỏi cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người?
A. 2016 B. 2017
C. 2018 D. 2019
Ví dụ 2. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của In-đô-nê-xi-a là 1,5%. Năm 1998, dân số của nước này là 212 942 000 người. Hỏi dần số của In-đô-nê-xi-a vào năm 2006 gần với số nào sau đây nhất?
A. 240091000 B.250091000.
C.230091000 D.220091000
Ví dụ 3. Biết rằng tỉ lệ giảm dân hàng năm của Nga là 0, 5%. Năm 1998, dân số của Nga là 146861000 người. Hỏi năm 2008 dân số của Nga gần với số nào sau đây nhất?
A. 135699000. B.139699000.
C.140699000. D.145699000
Ví dụ 4. Áp suất không khí P (đo bằng milimet thuỷ ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x ( đo bằng mét), tức P giảm theo công thức P = P0.ex.i trong đó Po = 760 mmHg là áp suất ở mực nước biển ( x = 0 ), i là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000 m thì áp suất của không khí là 672, 71 mmHg. Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3000 m gần với số nào sau đây nhất?
A. 530, 23 mmHg. B. 540, 23 mmHg.
C. 520,23 mmHg. D. 510, 23 mmHg.
Ví dụ 5. Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức f(t) = A. er.t, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỷ lệ tăng trưởng ( r > 0 ), t (tính theo giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Hỏi sao bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần
A. 5ln 20 (giờ). B. 5 (giờ).
C. 10log510 (giờ). D. 10log5 20 (giờ).
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải
- 5 dạng bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải
- Các dạng bài toán thực tế ôn thi đại học cực hay
- Tìm điều kiện xác định của lũy thừa hay nhất
- Dạng bài tập Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa cực hay
- Dạng bài tập về so sánh các lũy thừa cực hay
- Dạng bài tập Tính giá trị của biểu thức lũy thừa cực hay
- Tìm điều kiện để biểu thức logarit xác định hay nhất
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com
- Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán có đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết
- Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án
- Kho trắc nghiệm các môn khác
