Mời các bạn xem thêm danh sách tổng hợp Bài tập chống casio toán lớp 12 tốt nhất và đầy đủ nhất được tổng hợp bởi chúng tôi
Phương pháp chung:
Cách 1: Giải theo hình thức tự luận
- Bước 1: Tính tích phân như bình thường.
- Bước 2: Dựa vào yêu cầu đề bài và làm tiếp.
Cách 2: Sử dụng máy tính
Ví dụ 1: Cho tích phân $I=int_{0}^{frac{pi}{2}}e^{sin ^{2}x}sin x cos^{3}xdx$. Nếu đổi biến $t=sin ^{2} x$ thì
A. $I=frac{1}{2}int_{0}^{1}e^{t}(1-t)dt$.
B. $I=2 [int_{0}^{1}e^{t}dt + int_{0}^{1}te^{t}dt]$.
C. $I=2int_{0}^{1}e^{t}(1-t)dt$.
D. $I=frac{1}{2}[int_{0}^{1}e^{t}dt+int_{0}^{1}te^{t}dt]$.
Giải: Đáp án A
Cách 1: Theo tự luận
Đặt $t=sin ^{2} x Rightarrow dt=2sin x cos x dx$
Đổi cận $x=0 Rightarrow t=0$, $x=frac{pi}{2} Rightarrow t=1$.
Vậy $I=frac{1}{2}int_{0}^{1}e^{t}(1-t)dt$.
Cách 2: Ta chỉ cần tính tích phân đề bài cho và tích phân đáp án. Nếu trừ nhau bằng 0 thì là đáp án đúng.
Tính $I=int_{0}^{frac{pi}{2}}e^{sin ^{2}x}sin x cos^{3}xdx$
Xem thêm: Soạn bài Ông già và biển cả (Hê-Minh-Uê) | Soạn văn 12 hay nhất
Tính tích phân ở đáp án A, B, C. Ở đáp án A
Ví dụ 2: Giả sử rằng $I=int_{-2}^{0}frac{3x^{2}+5x-1}{x-2}dx =a ln frac{2}{3}+b$. Khi đó giá trị của a+2b là
A. 30.
B. 40.
C. 50.
D. 60.
Giải: Đáp án B
Cách 1: Tự làm (chia phân tử cho mẫu số)
Cách 2: Sử dụng máy tính
Trước hết tính tích phân $I=int_{-2}^{0}frac{3x^{2}+5x-1}{x-2}dx =a ln frac{2}{3}+b$ và gán cho A
Lúc này chỉ việc giải hệ phương trình với a+2b ở các đáp án. Kết quả nào đẹp thì ta lấy đáp án đó
Đáp án A
Đáp án B
Xem thêm: Soạn bài: Đất nước (Nguyễn Khoa Điềm) – Sachgiaibaitap.com
Đáp án C
Đáp án D
Ví dụ 3: Giả sử $I=int_{1}^{5}frac{1}{xsqrt{3x+1}}dx=aln 3+b ln 5$. Khi đó giá trị của $a^{2}+ab+4b^{2}$ là
A. 6.
B. 9.
C. 8.
D. 11.
Giải: Đáp án A
Cách 1: Đặt ẩn $t=sqrt{3x+1}$.
Cách 2: Sử dụng máy tính
Trước hết tính tích phân gán cho A
Do vế phải của tích phân đều biểu diễn dưới dạng ln nên chắc chắn rằng tích phân đó cũng theo ln. Vì thế có $A=ln x Leftrightarrow X=e^{A}.$. Tính giá trị của biểu thức $e^{A}$
Xem thêm: Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số – Sachgiaibaitap.com
Vậy $X=frac{9}{5}$. Do đó $ln frac{9}{5}=2 ln 3 -ln 5$ hay $a=2, b=-1$.
Ví dụ 4: Giả sử $int_{0}^{frac{1}{2}}sqrt{1-x^{2}}dx=frac{sqrt{3}}{a}+frac{pi}{b}$ với $a, b in mathbb{Z}$. Khi đó giá trị của $sqrt[3]{a}+2b$ là
A. 26.
B. 28.
C. 24.
D. 20.
Giải: Đáp án D
Áp dụng công thức tính gần đúng giá trị tích phân để dự đoán hệ số $int_{a}^{b}f(x)dxapprox frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$ (sử dụng khi $b-a leq 1$)
Khi đó $int_{0}^{frac{1}{2}}sqrt{1-x^{2}}dx approx frac{1}{4}(1+sqrt{1-frac{1}{4}})=frac{sqrt{3}}{8}+frac{1}{4}$
Ta chỉ quan tâm tới phần $sqrt{3}$ vì giả thiết bài toán cho và dự đoán a=8 và đi tìm b.
Tính tích phân và gán cho A
Do $A=frac{sqrt{3}}{8}+frac{pi}{b}$ nên b=12.
Lưu ý: Các bài toán trên mình khuyến khích nên giải tự luận sẽ nhanh hơn trừ một số bài thực sự phức tạp.
