Giải bài 41, 42, 43, 44 trang 175, 176 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài 41 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) (y = 2xleft( {1 – {x^{ – 3}}} right);) b) (y = 8x – {2 over {{x^{{1 over 4}}}}};)c) (y = {x^{{1 over 2}}}sin left( {{x^{{3 over 2}}} + 1} right);) d) (y = {{sin left( {2x + 1} right)} over {{{cos }^2}left( {2x + 1} right)}};)

Giải

a) (int {2xleft( {1 – {x^{ – 3}}} right)} dx = int {left( {2x – 2{x^{ – 2}}} right)dx })

(= {x^2} + {2 over x} + C)

b) (int {left( {8x – {2 over {{x^{{1 over 4}}}}}} right)dx = } int {left( {8x – 2{x^{ – {1 over 4}}}} right)} dx)

(= 4{x^2} – {8 over 3}{x^{{3 over 4}}} + C)

c) Đặt

(eqalign{& u = {x^{{3 over 2}}} + 1 Rightarrow du = {3 over 2}{x^{{1 over 2}}}dx Rightarrow {x^{{1 over 2}}}dx = {2 over 3}du cr & int {{x^{{1 over 2}}}sinleft( {{x^{{3 over 2}}} + 1} right)dx = {2 over 3}int {sin udu} }cr&= – {2 over 3}cos u + C = – {2 over 3}cos left( {{x^{{3 over 2}}} + 1} right) + Ccr} )

d) Đặt (u = cos left( {2x + 1} right) Rightarrow du = – 2sin left( {2x + 1} right)dx )

(Rightarrow sin left( {2x + 1} right)dx = – {1 over 2}du)

Do đó (int {{{sin left( {2x + 1} right)} over {{{cos }^2}left( {2x + 1} right)}}} dx = – {1 over 2}int {{{du} over {{u^2}}} = {1 over {2u}}} + C)

Xem thêm: Dàn ý các bài văn liên hệ tác phẩm Ngữ văn 11, 12 – Download.vn

(= {1 over {2cos left( {2x + 1} right)}} + C)

Bài 42 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

a) (y = {1 over {{x^2}}}cos left( {{1 over x} – 1} right)); b) (y = {x^3}{left( {1 + {x^4}} right)^3});c) (y = {{x{e^{2x}}} over 3}); d) (y = {x^2}{e^x}).

Giải

a) Đặt (u = {1 over x} – 1 Rightarrow du = – {1 over {{x^2}}}dx Rightarrow {{dx} over {{x^2}}} = – du)Do đó (int {{1 over {{x^2}}}} cos left( {{1 over x} – 1} right)dx = – int {cos udu })

(= – sin u + C = – sin left( {{1 over x} – 1} right) + C)

b) Đặt (u = 1 + {x^4} Rightarrow du = 4{x^3}dx Rightarrow {x^3}dx = {{du} over 4})

(int {{x^3}{{left( {1 + {x^4}} right)}^3}dx = {1 over 4}int {{u^3}du = {{{u^4}} over {16}} + C} } )

(= {1 over {16}} {left( {1 + {x^4}} right)^4} + C)

c) Đặt

(left{ matrix{u = {x over 3} hfill cr dv = {e^{2x}}dx hfill cr} right. Rightarrow left{ matrix{du = {1 over 3}dx hfill cr v = {1 over 2}{e^{2x}} hfill cr} right.)

Suy ra: (int {{{x{e^{2x}}} over 3}dx = {1 over 6}x{e^{2x}} – {1 over 6}int {{e^{2x}}dx} } )

(= {1 over 6}x{e^{2x}} – {1 over {12}}{e^{2x}} + C )

Xem thêm: Dự thảo các văn kiện Đại hội XIII: Nhất quán quan điểm “dân là gốc

d) Đặt

(left{ matrix{u = {x^2} hfill cr dv = {e^x}dx hfill cr} right. Rightarrow left{ matrix{du = 2xdx hfill cr v = {e^x} hfill cr} right.)

Suy ra (int {{x^2}{e^x}dx = {x^2}{e^x} – 2int {x{e^x}dx} } ) (1)

Đặt

(left{ matrix{u = x hfill cr dv = {e^x}dx hfill cr} right. Rightarrow left{ matrix{du = dx hfill cr v = {e^x} hfill cr} right.)

Do đó: (int {x{e^x}dx = x{e^x} – int {{e^x}dx = x{e^x} – {e^x} + C} } )

Từ (1) suy ra (int {{x^2}{e^x}dx = {x^2}{e^x} – 2x{e^x} + 2{e^x} + C} )

(= {e^x}left( {{x^2} – 2x + 2} right) + C)

Bài 43 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

a) (y = x{e^{ – x}}); b) (y = {{ln x} over x}).

Giải

a) Đặt

(left{ matrix{u = x hfill cr dv = {e^{ – x}}dx hfill cr} right. Rightarrow left{ matrix{du = dx hfill cr v = – {e^{ – x}} hfill cr} right.)

Xem thêm: Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Ôn Tập Chương 4 Giải Tích 12

Suy ra (int {x{e^{ – x}}dx = – x{e^{ – x}} + int {{e^{ – x}}dx} })

(= – x{e^{ – x}} – {e^{ – x}} + C = – {e^{ – x}}left( {x + 1} right) + C )

b) Đặt (u = ln x Rightarrow du = {{dx} over x})

Do đó (int {{{ln x} over x}} dx = int {udu = {{{u^2}} over 2}} + C = {{{{(ln x)}^2}} over 2} + C)

Bài 44 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm hàm số (y = f(x)) nếu biết (dy = 12x{left( {3{x^2} – 1} right)^3}dx) và (f(1) = 3).

Giải

Ta có (y = fleft( x right) = int {dy = 12int {x{{left( {3{x^2} – 1} right)}^3}dx} } )

Đặt (u = 3{x^2} – 1 Rightarrow du = 6xdx Rightarrow xdx = {{du} over 6})

Do đó (fleft( x right) = 2int {{u^3}} du = {{{u^4}} over 2} + C = {1 over 2}{left( {3{x^2} – 1} right)^4} + C)

Vì (fleft( 1 right) = 3) nên ({1 over 2}{2^4} + C = 3 Rightarrow C = – 5)

Vậy (fleft( x right) = {1 over 2}{left( {3{x^2} – 1} right)^4} – 5)

Giaibaitap.me