Bài 8 trang 147 SGK Giải tích 12 – Môn Toán – Tìm đáp án

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

LG a

a) (f(x) = 2x^3- 3x^2- 12x + 1) trên đoạn (displaystyle left[ { – 2 ; , {5 over 2}} right].)

Phương pháp giải:

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số (y=fleft( x right)) trên đoạn (left[ a; b right]) ta làm như sau :

+) Tìm các điểm ({{x}_{1}}; {{x}_{2}}; {{x}_{3}};…; {{x}_{n}}) thuộc đoạn (left[ a; b right]) mà tại đó hàm số có đạo hàm (f’left( x right)=0) hoặc không có đạo hàm.

+) Tính (fleft( {{x}_{1}} right); fleft( {{x}_{2}} right); fleft( {{x}_{3}} right);…; fleft( {{x}_{n}} right)) và (fleft( a right); fleft( b right).)

+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số (y=fleft( x right)) trên (left[ a; b right]) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số (y=fleft( x right)) trên (left[ a; b right]).

(begin{align}& underset{xin left[ a; b right]}{mathop{max }},fleft( x right)=max left{ fleft( {{x}_{1}} right);…; fleft( {{x}_{n}} right); fleft( a right); fleft( b right) right}. \ & underset{xin left[ a; b right]}{mathop{min }},fleft( x right)=min left{ fleft( {{x}_{1}} right);…; fleft( {{x}_{n}} right); fleft( a right); fleft( b right) right}. \ end{align})

Lời giải chi tiết:

Xem thêm: [Review] Trường tiểu học Phạm Văn Chiêu – Hồ Chí Minh

(f(x) = 2x^3- 3x^2- 12x + 1 ) (⇒ f’(x) = 6x^2 – 6x – 12)

(f’(x) = 0 ⇔ x =-1) hoặc (x=2)

So sánh các giá trị:

(f(-2) = -3); ( f(-1) = 8);

(f(2) = -19), (displaystyle f({5 over 2}) = {{ – 33} over 2})

Suy ra:

(eqalign{& mathop {max }limits_{x in left[ { – 2,{5 over 2}} right]} f(x) = f( – 1) = 8 cr & mathop {min}limits_{x in left[ { – 2,{5 over 2}} right]} f(x) = f(2) = – 19 cr} )

LG b

b) ( f(x) = x^2ln x) trên đoạn (left[ {1; , e} right].)

Lời giải chi tiết:

Xem thêm: Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Câu Hỏi Và Bài Tập Ôn Tập Cuối

(f(x) = x^2 ln x ) (⇒ f’(x)= 2xln x + x > 0, ∀ x ∈ [1, e]) nên (f(x)) đồng biến.

Do đó:

(eqalign{& mathop {max }limits_{x in left[ {1,e} right]} f(x) = f(e) = {e^2} cr & mathop {min}limits_{x in left[ {1,e} right]} f(x) = f(1) = 0 cr} )

LG c

c) (f(x) = xe^{-x}) trên nửa khoảng ([0; , +∞).)

Lời giải chi tiết:

(f(x)= xe^{-x}) (⇒ f’(x)=e^{-x} -xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}) nên:

(f’(x) = 0 ⇔ x = 1, f’(x) > 0, ∀x ∈ (0, 1)) và (f’(x) < 0, ∀x ∈ (1, +∞))

nên: (displaystyle mathop {max }limits_{x in {rm{[}}0, + infty )} f(x) = f(1) = {1 over e}.)

Ngoài ra (f(x)= xe^{-x} ge 0, ∀ x ∈ [0, +∞)) và (f(0) = 0) suy ra

Xem thêm: Soạn bài Diễn đạt trong văn nghị luận | Ngắn nhất Soạn văn 12

(mathop {min}limits_{x in {rm{[}}0, + infty )} f(x) = f(0) = 0)

LG d

d) (f(x) = 2sin x + sin 2x) trên đoạn (displaystyleleft[ {0; ,{{3pi } over 2}} right].)

Lời giải chi tiết:

(f(x) = 2sin x + sin2 x ) (⇒ f’(x)= 2cos x + 2cos 2x)

(f’(x) = 0 ⇔ cos 2x = -cos x ) ( ⇔ 2x = ± (π – x) + k2π)

( displaystyle ⇔ x in left{ { – pi + k2pi ;{pi over 3} + {{k2pi } over 3}} right})

Trong khoảng (displaystyleleft[ {0,{{3pi } over 2}} right]) , phương trình (f’(x) = 0) chỉ có hai nghiệm là (displaystyle {x_1} = {pi over 3};{x_2} = pi )

So sánh bốn giá trị: (f(0) = 0); (displaystyle f({pi over 3}) = {{3sqrt 3 } over 2};f(pi ) = 0;f({{3pi } over 2}) = – 2)

Suy ra:

(eqalign{& mathop {max }limits_{x in left[ {0,{{3pi } over 2}} right]} f(x) = f({pi over 3}) = {{3sqrt 3 } over 2} cr & mathop {min}limits_{x in left[ {0,{{3pi } over 2}} right]} f(x) = f({{3pi } over 2}) = – 2 cr} )