Mời các bạn xem thêm danh sách tổng hợp Bài 31 sgk toán 9 tập 1 tốt nhất và đầy đủ nhất
LG b
Chứng minh rằng: với (a > b >0) thì (sqrt a – sqrt b < sqrt {a – b} )
Phương pháp giải:
+) Định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:
( a< b Leftrightarrow sqrt a < sqrt b).
+) ( sqrt{ a^2} = a), với ( a ge 0).
+) Sử dụng kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1: Với hai số dương (a,b) ta có: (sqrt {a + b} < sqrt a + sqrt b )
Lời giải chi tiết:
Bài ra cho (a > b > 0) nên (sqrt a ,sqrt b ) và (sqrt {a – b} ) đều xác định và dương.
Xem thêm: Bài 3 trang 117 SGK Ngữ văn 9 tập 1
Ta sẽ so sánh (sqrt a ) với (sqrt {a – b} + sqrt b )
Theo kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1, với hai số dương (a-b) và (b,) ta sẽ có:
(sqrt {a – b} + sqrt b > sqrt {a – b + b} )
Suy ra:
(sqrt {a – b} + sqrt b > sqrt a Leftrightarrow sqrt {a – b} > sqrt a – sqrt b )
Vậy (sqrt a – sqrt b < sqrt {a – b} ) với (a > b > 0.)
Cách khác 1:
Với (a > b > 0) ta có (left{ begin{array}{l}sqrt a > sqrt b \a – b > 0end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}sqrt a – sqrt b > 0\sqrt {a – b} > 0end{array} right.)
Xét (sqrt a – sqrt b < sqrt {a – b} ) , bình phương hai vế ta được ({left( {sqrt a – sqrt b } right)^2} < {left( {sqrt {a – b} } right)^2} )(Leftrightarrow {left( {sqrt a } right)^2} – 2.sqrt a .sqrt b + {left( {sqrt b } right)^2} < a – b)
Xem thêm: Unit 1 lớp 9: Write | Hay nhất Giải bài tập Tiếng Anh 9 – VietJack.com
( Leftrightarrow a – 2sqrt {ab} + b < a – b )(Leftrightarrow 2b – 2sqrt {ab} < 0)
( Leftrightarrow 2sqrt b left( {sqrt b – sqrt a } right) < 0) luôn đúng vì (left{ begin{array}{l}sqrt b > 0\sqrt b – sqrt a < 0,left( {do,0 < b < a} right)end{array} right.)
Vậy (sqrt a – sqrt b < sqrt {a – b} ) với (a > b > 0.)
Cách khác 2:
Bài ra cho (a > b > 0) nên (sqrt a ,sqrt b ) và (sqrt {a – b} ) đều xác định và dương.
Ta sẽ so sánh (sqrt a ) với (sqrt {a – b} + sqrt b )
Ta có (sqrt {a – b} + sqrt b ) là số dương và
({left( {sqrt {a – b} + sqrt b } right)^2} )(= a – b + 2sqrt {bleft( {a – b} right)} + b )(= a + 2sqrt {bleft( {a – b} right)} )
Rõ ràng (2sqrt {b(a – b)} > 0) nên ({left( {sqrt {a – b} + sqrt b } right)^2} > a) (1)
Xem thêm: Bộ đề đọc hiểu văn bản “Đồng chí” – Ngữ văn 9
Ta có (sqrt a ) là số không âm và ({left( {sqrt a } right)^2} = a) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
({left( {sqrt {a – b} + sqrt b } right)^2} > {left( {sqrt a } right)^2}) (3)
Từ (3) theo định lí so sánh các căn bậc hai số học, ta suy ra
(sqrt {{{left( {sqrt {a – b} + sqrt b } right)}^2}} > sqrt {{{left( {sqrt a } right)}^2}} )
Hay (left| {sqrt {a – b} + sqrt b } right| > left| {sqrt a } right|)
Hay (sqrt {a – b} + sqrt b > sqrt a )
Từ kết quả (sqrt a < sqrt {a – b} + sqrt b ), ta có (sqrt a – sqrt b < sqrt {a – b} )
Loigiaihay.com
