Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 9: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Sách Giáo Khoa Toán lớp 9 tập 1
• Sách Giáo Khoa Toán lớp 9 tập 2
• Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 9
• Sách Giáo Viên Toán Lớp 9 Tập 1
• Sách Giáo Viên Toán Lớp 9 Tập 2
• Sách Bài Tập Toán Lớp 9 Tập 1
• Sách Bài Tập Toán Lớp 9 Tập 2

Sách giải toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 3 trang 14: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế (biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai của hệ)

Lời giải

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (7;5)

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 3 trang 15: Bằng minh họa hình học, hãy giải thích tại sao hệ (III) có vô số nghiệm.

Lời giải

Hai đường thẳng trên trùng nhau nên hệ phương trình (III) có vô số nghiệm

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 3 trang 15: Cho hệ phương trình

Bằng minh họa hình học và phương pháp thế, chứng tỏ rằng hệ (IV) vô nghiệm.

Lời giải

Hai đường thẳng trên song song nên chúng không có điểm chung hay hệ phương trình (IV) vô nghiệm.

Phương pháp thế:

Từ phương trình thứ nhất: y = 2 – 4x

Thế y vào phương trình thứ hai, ta có:

8x + 2(2 – 4x) =1 ⇔ 4 = 1 (vô lí)

Vậy hệ phương trình (IV) vô nghiệm.

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bài 12 (trang 15 SGK Toán 9 tập 2): Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Lời giải

Từ (1) rút ra được y = x – 3

Thế vào phương trình (2) ta được:

3x – 4.(x – 3) = 2 ⇔ 3x – 4x + 12 = 2 ⇔ x = 10

Từ x = 10 ⇒ y = x – 3 = 7.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (10 ; 7).

Từ (2) rút ra được y = -4x + 2.

Thế y = -4x + 2 vào phương trình (1) ta được :

7x – 3.(-4x+2) = 5 ⇔ 7x + 12x – 6 = 5 ⇔ 19x = 11 ⇔

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Từ (1) rút x theo y ta được: x = -3y – 2

Thế x = -3y – 2 vào phương trình (2) ta được :

5.(-3y – 2) – 4y = 11 ⇔ -15y – 10 – 4y = 11 ⇔ -19y = 21 ⇔

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Kiến thức áp dụng

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bài 12 (trang 15 SGK Toán 9 tập 2): Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Lời giải

Từ (1) rút ra được y = x – 3

Thế vào phương trình (2) ta được:

3x – 4.(x – 3) = 2 ⇔ 3x – 4x + 12 = 2 ⇔ x = 10

Từ x = 10 ⇒ y = x – 3 = 7.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (10 ; 7).

Từ (2) rút ra được y = -4x + 2.

Thế y = -4x + 2 vào phương trình (1) ta được :

7x – 3.(-4x+2) = 5 ⇔ 7x + 12x – 6 = 5 ⇔ 19x = 11 ⇔

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Từ (1) rút x theo y ta được: x = -3y – 2

Thế x = -3y – 2 vào phương trình (2) ta được :

5.(-3y – 2) – 4y = 11 ⇔ -15y – 10 – 4y = 11 ⇔ -19y = 21 ⇔

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Kiến thức áp dụng

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bài 13 (trang 15 SGK Toán 9 tập 2): Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Lời giải

Bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp thế có 2 cách trình bày.

Xem thêm: Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Cách 1:

Từ (1) ta rút ra được (*)

Thế (*) vào phương trình (2) ta được :

Thay x = 7 vào (*) ta suy ra

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (7 ; 10).

Từ (1) ta rút ra được : (*)

Thế (*) vào phương trình (2) ta được :

Thay x = 3 vào (*) ta suy ra

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Cách 2:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (7; 5).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Kiến thức áp dụng

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bài 13 (trang 15 SGK Toán 9 tập 2): Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Lời giải

Bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp thế có 2 cách trình bày.

Xem thêm: Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Cách 1:

Từ (1) ta rút ra được (*)

Thế (*) vào phương trình (2) ta được :

Thay x = 7 vào (*) ta suy ra

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (7 ; 10).

Từ (1) ta rút ra được : (*)

Thế (*) vào phương trình (2) ta được :

Thay x = 3 vào (*) ta suy ra

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Cách 2:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (7; 5).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Kiến thức áp dụng

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bài 14 (trang 15 SGK Toán 9 tập 2): Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Lời giải

Bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp thế có 2 cách trình bày.

Cách 1:

Từ (1) ta rút ra được x = -y√5 (*)

Thế (*) vào phương trình (2) ta được :

Xem thêm: Bài toán liên quan đến quãng đường, vận tốc, gia tốc và thời gian

Thay vào (*) ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Từ (2) ta rút ra được y = -4x + 4 – 2 √3 (*)

Thế (*) vào phương trình (1) ta được:

Thay x = 1 vào (*) ta được y = -4.1 + 4 – 2√3 = -2√3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; -2√3)

Cách 2 :

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; -2√3)

Kiến thức áp dụng

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bài 14 (trang 15 SGK Toán 9 tập 2): Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Lời giải

Bài toán giải hệ phương trình bằng phương pháp thế có 2 cách trình bày.

Cách 1:

Từ (1) ta rút ra được x = -y√5 (*)

Thế (*) vào phương trình (2) ta được :

Xem thêm: Bài toán liên quan đến quãng đường, vận tốc, gia tốc và thời gian

Thay vào (*) ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Từ (2) ta rút ra được y = -4x + 4 – 2 √3 (*)

Thế (*) vào phương trình (1) ta được:

Thay x = 1 vào (*) ta được y = -4.1 + 4 – 2√3 = -2√3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; -2√3)

Cách 2 :

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; -2√3)

Kiến thức áp dụng

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Luyện tập (trang 15-16 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 15 (trang 15 SGK Toán 9 tập 2): Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:

a) a = -1; b) a = 0; c) a = 1.

Lời giải

Ta có:

Từ (1) rút ra được x = 1 – 3y (*)

Thay vào phương trình (2) ta được :

(a2 + 1).(1 – 3y) + 6y = 2a

⇔ a2 + 1 – 3(a2 + 1)y + 6y = 2a

⇔ 3(a2 – 1).y = (a – 1)2 (**)

a) a = -1, phương trình (**) trở thành : 0y = 4

Phương trình trên vô nghiệm

Vậy hệ phương trình khi a = -1 vô nghiệm.

b) a = 0, phương trình (**) trở thành -3y = 1 ⇔

Thay vào (*) ta được x = 2.

Vậy hệ phương trình khi a = 0 có nghiệm duy nhất

c) a = 1, phương trình (**) trở thành: 0y = 0

Phương trình nghiệm đúng với mọi y.

Vậy hệ phương trình khi a = 1 có vô số nghiệm dạng (1 – 3y; y) (y ∈ R).

Kiến thức áp dụng

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Luyện tập (trang 15-16 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 16 (trang 16 SGK Toán 9 tập 2): Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Lời giải

Từ (1) ta rút ra được y = 3x – 5 (*)

Thế (*) vào phương trình (2) ta được :

5x + 2(3x – 5) = 23 ⇔ 5x + 6x – 10 = 23 ⇔ 11x = 33 ⇔ x = 3.

Thay x = 3 vào (*) ta được y = 3.3 – 5 = 4.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (3 ; 4).

Từ (2) ta rút ra được y = 2x + 8 (*)

Thế (*) vào phương trình (1) ta được :

3x + 5(2x + 8) = 1 ⇔ 3x + 10x + 40 = 1 ⇔ 13x = -39 ⇔ x = -3.

Thay x = – 3 vào (*) ta được y = 2.(-3) + 8 = 2.

Xem thêm: Toàn văn thông báo Hội nghị Trung ương 8, khóa XII | VOV.VN

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (-3 ; 2).

Từ (1) ta rút ra được (*)

Thế (*) vào phương trình (2) ta được :

Thay y = -6 vào (*) ta được x = -4.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) = (-4 ; -6).

Kiến thức áp dụng

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Luyện tập (trang 15-16 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 16 (trang 16 SGK Toán 9 tập 2): Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Lời giải

Từ (1) ta rút ra được y = 3x – 5 (*)

Thế (*) vào phương trình (2) ta được :

5x + 2(3x – 5) = 23 ⇔ 5x + 6x – 10 = 23 ⇔ 11x = 33 ⇔ x = 3.

Thay x = 3 vào (*) ta được y = 3.3 – 5 = 4.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (3 ; 4).

Từ (2) ta rút ra được y = 2x + 8 (*)

Thế (*) vào phương trình (1) ta được :

3x + 5(2x + 8) = 1 ⇔ 3x + 10x + 40 = 1 ⇔ 13x = -39 ⇔ x = -3.

Thay x = – 3 vào (*) ta được y = 2.(-3) + 8 = 2.

Xem thêm: Toàn văn thông báo Hội nghị Trung ương 8, khóa XII | VOV.VN

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (-3 ; 2).

Từ (1) ta rút ra được (*)

Thế (*) vào phương trình (2) ta được :

Thay y = -6 vào (*) ta được x = -4.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) = (-4 ; -6).

Kiến thức áp dụng

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Luyện tập (trang 15-16 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 17 (trang 16 SGK Toán 9 tập 2): Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Lời giải

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Kiến thức áp dụng

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Luyện tập (trang 15-16 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 17 (trang 16 SGK Toán 9 tập 2): Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Lời giải

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Kiến thức áp dụng

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Luyện tập (trang 15-16 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 18 (trang 16 SGK Toán 9 tập 2): a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình có nghiệm (1 ; -2).

b) Cũng hỏi như vậy nếu phương trình có nghiệm là (√2 – 1; √2)

Lời giải

a) Hệ phương trình có nghiệm (1 ; -2)

Vậy với a = -4 và b = 3 thì hệ phương trình nhận (1; -2) là nghiệm.

b) Hệ phương trình có nghiệm (√2 – 1; √2)

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Luyện tập (trang 15-16 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 19 (trang 16 SGK Toán 9 tập 2): Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x – a khi và chỉ khi P(a) = 0. Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1 và x – 3:

P(x) = mx3 + (m – 2)x2 – (3n – 5)x – 4n

Lời giải

+ P(x) chia hết cho x + 1

⇔ P(-1) = 0

⇔ m.(-1)3 + (m – 2)(-1)2 – (3n – 5).(-1) – 4n = 0

⇔ -m + m – 2 + 3n – 5 – 4n = 0

⇔ -n – 7 = 0

⇔ n = -7 (1)

+ P(x) chia hết cho x – 3

⇔ P(3) = 0

⇔ m.33 + (m – 2).32 – (3n – 5).3 – 4n = 0

⇔ 27m + 9m – 18 – 9n + 15 – 4n = 0

⇔ 36m – 13n = 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Luyện tập (trang 15-16 sgk Toán 9 Tập 2)

Bài 19 (trang 16 SGK Toán 9 tập 2): Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x – a khi và chỉ khi P(a) = 0. Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1 và x – 3:

P(x) = mx3 + (m – 2)x2 – (3n – 5)x – 4n

Lời giải

+ P(x) chia hết cho x + 1

⇔ P(-1) = 0

⇔ m.(-1)3 + (m – 2)(-1)2 – (3n – 5).(-1) – 4n = 0

⇔ -m + m – 2 + 3n – 5 – 4n = 0

⇔ -n – 7 = 0

⇔ n = -7 (1)

+ P(x) chia hết cho x – 3

⇔ P(3) = 0

⇔ m.33 + (m – 2).32 – (3n – 5).3 – 4n = 0

⇔ 27m + 9m – 18 – 9n + 15 – 4n = 0

⇔ 36m – 13n = 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :