Giải bài 9, 10, 11, 12 trang 147 SGK Giải tích 12 – Giaibaitap.me

Bài 9 trang 147 SGK Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a) ({13^{2x + 1}} – {13^x} – 12 = 0)

b) (({3^x} + {rm{ }}{2^x})({3^x} + {rm{ }}{3.2^x}){rm{ }} = {rm{ }}{8.6^x})

c) ({log _{sqrt 3 }}(x – 2).{log _5}x = 2{log _3}(x – 2))

d) (log_2^2x{rm{ }}-{rm{ }}5log_2x{rm{ }} + {rm{ }}6{rm{ }} = {rm{ }}0)

Xem thêm: Giải bài tập toán 12 hình học trang 80 Đầy Đủ và Chi Tiết Nhất

Giải

a) Đặt (t = 13^x > 0) ta được phương trình:

(13t^2 – t – 12 = 0 ⇔ (t – 1)(13t + 12) = 0)

(⇔ t = 1 ⇔ 13^x = 1 ⇔ x = 0)

b)

Chia cả hai vế phương trình cho (9^x) ta được phương trình tương đương

((1 + {({2 over 3})^x})(1 + 3.{({2 over 3})^x}) = 8.{({2 over 3})^x})

Đặt (t = {({2 over 3})^x} (t > 0)) , ta được phương trình:

((1 + t)(1 + 3t) = 8t ⇔ 3t^2- 4t + 1 = 0 ⇔ )(t in left{ {{1 over 3},1} right})

Với (t = {1 over 3}) ta được nghiệm (x = {log _{{2 over 3}}}{1 over 3})

Với (t = 1) ta được nghiệm (x = 0)

c) Điều kiện: (x > 2)

(eqalign{& Leftrightarrow 2lo{g_3}(x – 2).lo{g_5}x = 2lo{g_3}(x – 2) cr & Leftrightarrow 2lo{g_3}(x – 2)({log _5}x – 1) = 0 cr} )

(Leftrightarrowleft[ matrix{{log _3}(x – 2) = 0 hfill cr lo{g_5}x = 1 hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{x = 3 hfill cr x = 5 hfill cr} right.)

Xem thêm: Soạn bài Nhân vật giao tiếp | Ngắn nhất Soạn văn 12 – VietJack.com

d) Điều kiện: (x > 0)

(eqalign{& log _2^2x – 5{log _2}x + 6 = 0 cr & Leftrightarrow ({log _2}x – 2)({log _2}x – 3) = 0 cr & Leftrightarrow left[ matrix{{log _2}x = 2 hfill cr {log _2}x = 3 hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{x = 4 hfill cr x = 8 hfill cr} right. cr} )

Bài 10 trang 147 SGK Giải tích 12

Giải các bất phương trình sau

a) ({{{2^x}} over {{3^x} – {2^x}}} le 2)

b) ({({1 over 2})^{{{log }_2}({x^2} – 1)}} > 1)

c) ({log ^2}x + 3log x ge 4)

d) ({{1 – {{log }_4}x} over {1 + {{log }_2}x}} le {1 over 4})

Trả lời:

a) Ta có:

({{{2^x}} over {{3^x} – {2^x}}} le 2 Leftrightarrow {1 over {{{({3 over 2})}^x} – 1}} le 2)

Đặt (t = {({3 over 2})^2}(t > 0)) , bất phương trình trở thành:

(eqalign{& {1 over {t – 1}} le 2 Leftrightarrow {1 over {t – 1}} – 2 le 0 Leftrightarrow {{ – 2t + 3} over {t – 1}} le 0 cr & Leftrightarrow left[ matrix{0 < t < 1 hfill cr t ge {3 over 2} hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{{({3 over 2})^x} < 1 hfill cr {({3 over 2})^2} ge {3 over 2} hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{x < 0 hfill cr x ge 1 hfill cr} right. cr} )

b) Ta có:

(eqalign{& {({1 over 2})^{{{log }_2}({x^2} – 1)}} > 1 Leftrightarrow left{ matrix{{x^2} – 1 > 0 hfill cr {log _2}({x^2} – 1) < 0 hfill cr} right. cr & Leftrightarrow 0 < {x^2} – 1 < 1 Leftrightarrow 1 < |x| < sqrt 2 cr & Leftrightarrow x in ( – sqrt 2 , – 1) cup (1,sqrt 2 ) cr} )

c) Điều kiện: (x > 0)

(eqalign{& {log ^2}x + 3log x ge 4 Leftrightarrow (log x + 4)(logx – 1) ge 0 cr & Leftrightarrow left[ matrix{{mathop{rm logx}nolimits} ge 1 hfill cr logx le – 4 hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{x ge 10 hfill cr 0 < x le {10^{ – 4}} hfill cr} right. cr} )

d) Ta có:

(eqalign{& {{1 – {{log }_4}x} over {1 + {{log }_2}x}} le {1 over 4} Leftrightarrow {{1 – {{log }_4}x} over {1 + 2{{log }_4}x}} le {1 over 4} cr & Leftrightarrow {{3 – 6{{log }_4}x} over {1 + 2{{log }_4}x}}le0 cr & Leftrightarrow left[ matrix{{log _4}x le {{ – 1} over 2} hfill cr {log _4}x ge {1 over 2} hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{0 < x < {1 over 2} hfill cr x ge 2 hfill cr} right. cr} )

Bài 11 trang 147 SGK Giải tích 12

Xem thêm: Giải bài 29 trang 36 SGK Hình Học 12 nâng cao – VietJack.com

Tính các tích phân sau bằng phương pháp tính tích phân từng phần

a) (int_1^{{e^4}} {sqrt x } ln xdx)

b) (int_{{pi over 6}}^{{pi over 2}} {{{xdx} over {{{sin }^2}x}}} )

c) (int_0^pi {(pi – x)sin {rm{x}}dx} )

d) (int_{ – 1}^0 {(2x + 3){e^{ – x}}} dx)

Xem thêm: Giải bài tập toán 12 hình học trang 80 Đầy Đủ và Chi Tiết Nhất

Giải

a)

(eqalign{& int_1^{{e^4}} {sqrt x } ln xdx = {int_1^{{e^4}} {ln xd({2 over 3}} x^{{3 over 2}}}) cr & = {2 over 3}{x^{{3 over 2}}}ln xleft| {_1^{{e^4}}} right. – intlimits_1^{{e^4}} {{2 over 3}} .{x^{{3 over 2}}}.d{mathop{rm lnx}nolimits} cr & = {8 over 3}{e^6} – {2 over 3}{x^{{1 over 2}}}dx = {8 over 3}{e^6} – {4 over 9}{x^{{2 over 3}}}left| {_1^{{e^4}}} right. = {{20} over 9}{e^6} + {4 over 9} cr} )

b) Ta có:

(eqalign{& int_{{pi over 6}}^{{pi over 2}} {{{xdx} over {{{sin }^2}x}}} = intlimits_{{pi over 6}}^{{pi over 2}} {xd( – cot x) = – xcot xleft| {_{{pi over 6}}^{{pi over 2}}} right.} + intlimits_{{pi over 6}}^{{pi over 2}} {cot xdx} cr & = {{pi sqrt 3 } over 6} + intlimits_{{pi over 6}}^{{pi over 2}} {{{dsin x} over {{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}}}} = {{pi sqrt 3 } over 6} + ln |sinx|left| {_{{pi over 6}}^{{pi over 2}}} right. = {{pi sqrt 3 } over 6} + ln 2 cr} )

c) Ta có:

(eqalign{& int_0^pi {(pi – x)sin {rm{x}}dx} = intlimits_0^pi {(pi – x)d( – {mathop{rm cosx}nolimits} )} cr & = – (pi – x)cosxleft| {_0^pi } right. + intlimits_0^pi {{mathop{rm cosxd}nolimits} (pi – x) = pi – s{rm{inx}}left| {_0^pi } right.} = pi cr} )

d) Ta có:

(eqalign{& int_{ – 1}^0 {(2x + 3){e^{ – x}}} dx = intlimits_{ – 1}^0 {(2x + 3)d( – {e^{ – x}}} ) cr & = (2x + 3){e^{ – x}}left| {_0^{ – 1}} right. + intlimits_{ – 1}^e {{e^{ – x}}} .2dx = e – 3 + 2{e^{ – x}}left| {_0^1} right. = 3e – 5 cr} )

Bài 12 trang 147 SGK Giải tích 12

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số

a) (intlimits_0^{{pi over 24}} {tan ({pi over 4} – 4x)dx} ) (đặt (u = cos ({pi over 3} – 4x)) )

b) (intlimits_{{{sqrt 3 } over 5}}^{{3 over 5}} {{{dx} over {9 + 25{x^2}}}} ) (đặt (x = {3 over 5}tan t) )

c) (intlimits_0^{{pi over 2}} {{{sin }^3}} x{cos ^4}xdx) (đặt u = cos x)

d) (intlimits_{{{ – pi } over 4}}^{{pi over 4}} {{{sqrt {1 + tan x} } over {{{cos }^2}x}}} dx) (đặt (u = sqrt {1 + tan x} ) )

Xem thêm: Giải bài tập toán 12 hình học trang 80 Đầy Đủ và Chi Tiết Nhất

Giải

a) Ta có:

Đặt (u = cos ({pi over 3} – 4x)) thì (u’ = 4sin({pi over 3} – 4x))

Khi (x = 0) thì (u = {1 over 2}) ; khi (x = {pi over {24}} Rightarrow u = {{sqrt 3 } over 2})

Khi đó:

(eqalign{& intlimits_0^{{pi over {24}}} {tan ({pi over 3}} – 4x)dx = {1 over 4}intlimits_0^{{pi over {24}}} {{{dcos ({pi over 3} – 4x)} over {cos ({pi over 3} – 4x)}}} cr & = {1 over 4}intlimits_{{1 over 2}}^{{{sqrt 3 } over 2}} {{{du} over u}} ={1 over 4}ln |u|left| {_{{1 over 2}}^{{{sqrt 3 } over 2}}} right.= {1 over 4}ln sqrt 3 cr} )

b)

Đặt

(x = {3 over 5}tan t Rightarrow left{ matrix{9 + 25{x^2} = 9(1 + {tan ^2}t) hfill cr dx = {3 over 5}(1 + {tan ^2}t) hfill cr} right.)

Đổi cận: (x = {{sqrt 3 } over 5} Rightarrow t = {pi over 6};x = {3 over 5} Rightarrow t = {pi over 4})

Do đó:

(intlimits_{{{sqrt 3 } over 5}}^{{3 over 5}} {{{dx} over {9 + 25{x^2}}}} = intlimits_{{pi over 6}}^{{pi over 4}} {{1 over {15}}dt ={1 over {15}}tleft| {_{{pi over 6}}^{{pi over 4}}} right. {pi over {180}}} )

c) Đặt (t = cos x) thì (dt = -sin x dx)

Khi (x = 0 Rightarrow t = 1;x = {pi over 2} Rightarrow t = 0)

Do đó:

(eqalign{& intlimits_0^{{pi over 2}} {{{sin }^3}x{{cos }^4}xdx = intlimits_1^0 { – (1 – {t^2}){t^4}} dt} cr & = – intlimits_0^1 {({t^4} – {t^6})dt = – ({{{t^5}} over 5}} – {{{t^7}} over 7})left| {_0^1} right. = {2 over {35}} cr} )

d) Đặt (u = sqrt {1 + tan x} Rightarrow {t^2} = 1 + tan x Rightarrow 2tdt = {{dx} over {{{cos }^2}x}})

Do đó:

(intlimits_{{{ – pi } over 4}}^{{pi over 4}} {{{sqrt {1 + tan x} } over {{{cos }^2}x}}} dx = intlimits_0^{sqrt 2 } {2{t^2}dt = {2 over 3}} {t^3}left| {_0^{sqrt 2 }} right. = {{4sqrt 2 } over 3})

Giaibaitap.me